Wie Lineares Ungleichungssystem lösen?

gegeben das Lineare Ungleichungssystem:

1) (a-1)x-y-z>0

2) -x+(b-1)y-z>0

3) -x-y+(c-1)z>0
oder als matrix geschrieben (falls das hier überhaupt geht):

(a-1)  -1  -1 |0
-1  (b-1)  -1 |0
-1  -1  (c-1) |0

Dieses will ich  lösen nach x,y,z, also dass ich am Schluss Ungleichungen habe, die mir xy,z abschätzen.
bspw. sowas wie 2a+3c-4b<=x
oder so.

Wie würde man das lösen?
Simplexverfahren habe ich auf Youtube gesehen allerdings gibt es hier ja keine Zielfunktion die es zu maximieren gilt :-/

Mir ist zar kla dass man hier wohl von Hand hin und her umstellen könnte.
Ist mir aber zu aufwendig.

Neuling Gefragt vor am 26. November 2018 in Speziell Studium.
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11 Antwort(en)

Hallo,

die Matrix kannst du mittels Latex darstellen.

\( \left( \begin{array}{ccc|c} (a-1) & -1 & -1 & 0 \\ -1 & (b-1) & -1 & 0 \\ -1 & -1 & (c-1) & 0 \end{array}\right) \)

Der Befehl dafür ist:

\left( \.begin{array}{ccc|c} (a-1) & -1 & -1 & 0 \\ -1 & (b-1) & -1 & 0 \\ -1 & -1 & (c-1) & 0 \end{array} \right)

Mathjax nutzt du in dem du im Fließtext die Befehle zwischen \( \.) schreibst (ohne die Punkte).

Eine kleine Einführung dafür findest du unter Formeln einfügen oben rechts im Forum.

Nun zu deiner Frage:

Du kannst mit folgender Überlegung Variablen auslöschen.

Du hast die 3 Ungleichungen

\( I. (a-1)x-y-z>0 \)

\( II. -x+(b-1)y-z>0 \)

\( III. -x-y+(c-1)z>0 \)

Formen wir diese nach z um erhalten wir

\( I. -z> y-(a-1)x  \Rightarrow z < (a-1)x-y \)

\( II. -z>x-(b-1)y \Rightarrow z < (b-1)y-x \)

\( III. z> \frac {x+y} {c-1} \)

Jetzt haben wir zwei Terme die größer als z sein müssen (I. und II.) und einen der kleiner ist (III.).

Daraus erstellen wir 2 neue Ungleichungen:

\( IV. (a-1)x-y > \frac {x+y} {c-1} \)

\( V. (b-1)y -x >  \frac {x+y} {c-1} \)

Diese kannst du wieder umstellen und entweder eine graphische Lösung finden oder wieder eine Unbekannte eliminieren um somit dann nur noch eine Ungleichung und eine Unbekannte zu haben.

Das Lösungsintervall für z erhälst du aus

\( (a-1)x-y > z > \frac {x+y} {c-1} \)

Grüße Christian

LRM-Team Beantwortet am 26. November 2018.
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Ja genau.

Du musst hier aber noch bedenken, dass du nicht alle Lösungen auf diese Weise erhälst. Das sind nur alle Lösungen mit \( c>1 \).

Das liegt daran das sich für \( c<1 \) das Vergleichszeichen umkehren würde und für \( c=1\) wir durch 0 teilen würden.

Hmm eine vereinfachte Darstellung wie der Gauß Algorithmus fällt mir dazu gerade nicht ein. Sollte ich eine finden melde ich mich dazu nochmal

Grüße Christian

LRM-Team Beantwortet am 26. November 2018.
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Ja perfekt dann lassen sich so alle Lösungen finden. 🙂

Ja genau das ist lediglich zwecks Optimierung und zusätzlich muss dort auch gelten

\( x,y,z \geq 0 \)

Grüße Christian

LRM-Team Beantwortet am 26. November 2018.
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Ich muss sagen ich habe nach dem umstellen folgende Ungleichungen heraus.

\(((c-1)(a-1)-1)x=(ca-c-a)x > cy \)

\( ((c-1)(b-1)-1)y=(cb-c-b)y > cx \)

Die erste teilen wir durch \( c>1 \) und erhalten

\( \frac {ca-c-a} c x > y \)

Bei der zweiten müssen wir leider zwei Fälle betrachten. Für den ersten

\( b > \frac c {c-1} \)

Dann ist die Klammer positiv und wir können die beiden Ungleichungen kombinieren.

Du erhälst in diesem Fall daraus aber auch nur eine Ungleichung die weiter \( a,b,c \) einschränkt. Das liegt daran das du für x beliebige Lösungen einsetzen kannst.

Wählen wir x beliebig, so befindet sich y in dem Intervall

\( \left( \frac c {cb-b-c}x , \frac {ca-c-a} c x \right) \)

Nehmen wir an das gilt

\( b < \frac c {c-1} \)

so wird die Klammer negativ und es gilt das y kleiner als das Minimum von

\( \frac {ca-c-a} c x \) und \( \frac c {cb-c-b} x \) ist.

Du hast eben 3 weitere Unbekannte deshalb wirst du keine schönere Lösung finden.

Noch als Anmerkung \( b-c \) kann auch negativ werden. Dafür muss c nur größer sein als b.

Grüße Christian

LRM-Team Beantwortet am 27. November 2018.
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In dem Wust von Buchstaben passiert das schnell. 🙂

Mach das. Wenn sich nochmal eine Frage auftut melde dich.

Grüße Christian

LRM-Team Beantwortet am 27. November 2018.
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Das macht rstaunlich viel Sinn! :O

Und nu n muss ich die 2 Ungleichungen auch wieder umstellen bis ich 2 Terme habe, einer größer y und einer kleiner y, richtig?

und damit kann ich dann x rausfinden, oder?

Ich denke, das grundprinzip verstehe ich.

Gibts da eigentlich, so wie es bei linearen Gleichungssystemen den Gauss Algoithmus gibt, auch hier eine Art Standardprozedur?

Neuling Beantwortet am 26. November 2018.
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Stimmt. Habe ich vergessen zu erwähnen aber es gilt die Einschränkung a,b,c>1.

Hätte ich vielleicht oben erwähnen sollen 🙂

Dachte anfangs, das Simplexverfahren wäre geeignet.
Aber da geht es ja letztlich um die Maimierung einer Funktion unter Randbedingungen :-/

Neuling Beantwortet am 26. November 2018.
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Kannst du mir nochmal weiterhelfen:
aus den 2 Gleichungen mit x,y habe ich nun die Geichungen gefolgert:
(a-c)x>(2-c)y und
(b-c)y>cx

Letztere Zeile kann ich zwar nocbh durch c teilen (da c>1>0 keine Umkehrung) aber was nun?
Soweit ich das sehe müsste ich hier nun weitere Einschränkungen wie b>c oder sowas vornehmen, oder?
Was ich eigentlich vermeiden möchte :-/

Hast du eine gute idee?
Oder habe ich mich verechnet?

Habe eigentlich nur alles mit x auf eine und y auf die andere Seite gebracht.
Ausschließlich durch addition und subtraktion, also nicht die ungleichung mit irgendwas multipliziert was das zeichen umkehren könnte :-/

Edit:
mir fiel gerade ein hinsichtlich der letzten gleichung:
x und y sind per def. >0.
c ebenso >1>0 .
dmenach müsste eigentlich gezwungenermassen auch (b-c)>0 sein, oder?

ebenso muss in der 1. glecihung gelten dass (a-c) und (2-c) entweder:
beide negativ sind oder
beide positiv, oder?

müsste ich hier nun ernsthaft eine fallunterscheidung für die 2 fälle machen? :-/
oder gehts irgendwie auch ohne?

Neuling Beantwortet am 27. November 2018.
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Du hast natürlich Rehct, ich hab oben irgendwie 1/(c-1) mit (c-1) verwechselt *facepalm*

Alles Weitere muss ich mal in Ruhe durchrechnen

Neuling Beantwortet am 27. November 2018.
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Hab nochmal nachgerechnet, bin dann auch auf die gleihen 2 Ungleichungen gekommen wie du.

Muss nun mal gucken wie es weitergeht.
Im Prinzip muss ich nun das so umstellen dass ich einmal
>X und einmal <x habe.
2. gleichung einfach durch c teilen.
Bei der ersten muss ich wohl mit der fallunterscheidung leben ob ca-c-a positiv oder negativ ist.

mir gehts weniger drum, bedingugne  für a,b,c, festzulegen.
Diese sind von anfang an vorgegeben (aber da ichs allgemein ausrechnen will, eben nur als buchstaben da).

von daher mache ich al mit der bestimmung von x,y und z weiter:

annahme eben dass ca-c-a>0 ist:
(caca)x>cy
(cbcb)y>cx

damit

x>c/(ca-c-a)*y

(cb-c-b)/c*y>x

 

damit gilt:
(cb-c-b)/c*y>x>c/(ca-c-a)*y

oder
y*[(cb-c-b)/c -c/(ca-c-a)\]>0

da y>0, muss der klammerausdruck >0 sein.

 

aber was hilft mir das nun? :-/

weil ganz am ende will ich ja sowas wie
x>f(a,b,c) da stehen haben

also letztlich einschränkungen für x,y,z in abhängigkeit von a,b,c

Ich bin verwirrt.
Bin ich , um dieses Ziel zu erreichen, grundsätzlich falsch vorgegangen?

Aber eigentlich müsste ich doch die mischmaschungleichungen vom anfang doch eindeutig
umbauen können in ungleichungen, die grenzen für x,y,z aufzeigen.

Oder hätte ich da nen ganz anderen Weg gehen müssen?
Nämlich letztlich stattdessen nach a,b,c zu lösen versucht.
Und hätte dann entlang des weges bedingungen für x,y,z erhalten?

Neuling Beantwortet am 28. November 2018.
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