Trigonometrischen Funktionen

Hey Leute,

ich muss eine Prüfung in Mathe schreiben um in die Uni angenommen zu werden.

Der Prof. hat uns Aufgaben gegeben, allerdings verstehe ich es nicht. Kann jmd mir bitte helfen?

Funktionen sind gegeben:

f(x) = sin(x)+cos(x)

g(x)= sin(x)

Frage:

Wie viele Nullstellen hat f(x)/g(x) auf dem abgeschlossenen Intervall? f(x) [0,2 pi]

g(x) [0,20]?

Bin sehr Dankbar für jede Antwort 🙂 Danke

Neuling Gefragt vor am 24. Juli 2018 in Speziell Studium.
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11 Antwort(en)

Also rein vom Verständnis oder auch was die Berechnung angeht?

ich würde sagen, schau mal im Internet oder gib die Formeln in einen Grafik Taschenrechner ein. Lass dir die Grafen zeichnen. Nullstellen sind dort wo die Kurve die X-Achse schneidet. Es gelten aber nur die Nullstellen welche zwischen den X-Werten [x=0,2 und x=pi] bzw [x=0 und x=20] liegen.

Vorzeige-Member Beantwortet am 24. Juli 2018.
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Hallo July69!
Diese Funktionen sind periodisch, das heißt, sie wiederholen sich immer wieder.
Erstmal vorweg, kann ich dir sehr WolframAlpha an Herz legen. Da kannst du Funktionen einmal abbilden lassen und sehen was passiert 🙂

Ich sende dir gleich mal en Bild wie es lösen würde.

lg

Tracy

Neuling Beantwortet am 24. Juli 2018.
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Zur Berechnung:

Nullstellen einer Funktion werden berechnet mit Mitternachtsformel / PQ Formel / Quadratische Ergänzung / Ausklammern / Substitution / Polynomdivision / Horner Schema usw.

Nullstellen von -sin(x) sind periodisch auftretend. g(x) geht durch den Nullpunkt. Dh, du hast nullstellen bei pi / 2*pi / -pi usw. Diese müssen jetzt nur noch im Intervall liegen also hast du: pi / 2pi /3 pi/ 4pi /5pi und 6pi als Nullstellen.

Vorzeige-Member Beantwortet am 24. Juli 2018.
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Vielen Lieben Dank 🙂

Neuling Beantwortet am 24. Juli 2018.
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RE: Trigonometrischen Funktionen

Ich hoffe man versteht das.

Ich habe sin(x) und cos(x) gezeichnet und dann die werte grob addiert, Oben sieht man auch gut die Periodizität 🙂

Neuling Beantwortet am 24. Juli 2018.
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Bei der Berechnung der Nullstellen von f(x) musst du nur wissen wie du bei Addition von cos(x) zu sin(x) die Kurve verschieben musst. Denke nicht, dass dein Prof dich hier ohne Taschenrechner rechnen lässt, weil als Ergebnis Kommastellen wie x = 2,3561945 rauskommen. Dort ist wohl eine grobe Orientierung verlangt oder du darfst zum Taschenrechner greifen. So umständlich im Kopf zu rechnen werden die kaum verlangen.

wobei x=(ca.) 2,36 auch die einzige Nullstelle im Intervall ist.

Vorzeige-Member Beantwortet am 24. Juli 2018.
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Hallo,

doch ich denke die Aufgabe soll auf jeden Fall ohne (G)TR gelöst werden; man könnte hier höchstens den Taschenrechner zur Hand nehmen um sich nochmal cos und sin anzuschauen, falls man die gemeinsamen Punkte vergessen haben sollte.

Ich versteh allerdings diese Notation nicht ganz:

f(x) [0,2 pi]

g(x) [0,20]

Meinst du damit die Definitionsbereiche der Funktionen? Falls ja kannst du die Funktion nur auf dem Intervall [0,2;pi] betrachten, weil nur hier f(x) und g(x)  ja  gleichzeitig definiert sind

Vornehm ausgedrückt: Der Definitionsbereich ergibt sich aus der Schnittmenge vom Definitionsbereich von g(x) und f(x).

@Trixxter41:

” pi / 2pi /3 pi/ 4pi /5pi und 6pi”
sind aber nicht die Nullstellen der Funktion. Das wären nur die Nullstellen von sin(x) (Pollstellen der oberen Funktion).

Grüße,

h

Experte Beantwortet am 25. Juli 2018.
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Hmn… Bei uns in der Uni ist auch bei solchen Aufgaben ein generelles Taschenrechnerverbot (zumindest in Mathe).
Daher mal kurz der Weg ohne TR. Die Antwort ist hier nicht ganz eindeutig, ich hoffe aber dennoch schlüssig!:

Deine Funktion lautet  ( sin(x) + cos(x) ) / sin(x)
Eine Nullstelle ist überall dort, wo der Zähler gleich 0 ist und der Nenner ungleich 0.
Das bedeutet: für sin(x) = – cos(x) hat deine Funktion jeweils eine Nullstelle.

Im Intervall von 0,2 bis π ist dies bei: 3/4π (3/4 π entspricht 135°)

___________________________________________________________________________________________________________________

Beim Intervall von 0 bis 20 ist dies Interpretationssache:
Wird die Funktion immer noch im Radienten berechnet, oder befindest du dich hier im Gradmaß?

-> 1. Radient: 20 entspricht grob überschlagen etwa 6π. Für 3/4π+n hast du eine Nullstelle:
3/4π,  7/4π, 13/4π, 17/4π, 21/4π, 25/4π
25/4π ist nun etwas Tricky: liegt es im Intervall oder nicht? Unsere Überschlagsrechnung (20≈6π) sagt: NEIN. Dennoch ist der Wert so nahe an der Grenze, dass man sich hier kein eindeutiges Urteil bilden kann. Gut möglich, dass diese NST noch im Intervall liegt 🙂
Ohne Taschenrechner ist dies nicht einfach zu beantworten. Falls du keinen TR benutzen darfst, geht es dem Prof nur darum, wie du argumentierst.

-> 2. Gradmaß: Die erste Nullstelle existiert bei 3/4π, das entspricht 135°. Das bedeutet, dass vorher keine Nullstelle existiert.
Somit hätte die Funktion auf dem Intervall von 0 bis 20 keine Nullstelle.

Anbei: Die Werte vom sinus und Cosinus kannst du einer Tabelle entnehmen:
http://www2.hs-esslingen.de/~kamelzer/2011WS/Werte_sin_cos.pdf
Die Werte von 0 bis π darf man in viertel Schritten gerne kennen, alle weiteren kann man sich aus Symmetrieargumenten herleiten

 

EDIT: Sollte das zweite Intervall von 0 bis 20π gehen, verliert die Aufgabe ihren Witz. Die Nullstellen liegen noch immer bei 3/4π+n, allerdings ist die Anzahl der Nullstellen auf diesem Intervall eindeutig zu beantworten.

Fragensteller Beantwortet am 25. Juli 2018.
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Dankeschön Leute, das ist echt super 🙂

Neuling Beantwortet am 25. Juli 2018.
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@Wirkungsquantum

Die Nullstellen mit n*pi die ich genannt habe sind die Nullstellen der Funktion g(x)=sin(x)
Für f(x) habe ich noch was anderes geschrieben. Meine Nullstellen sind korrekt. Nur meine Antwort ist auf mehrere Kommentare aufgeteilt

Vorzeige-Member Beantwortet am 25. Juli 2018.
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