Raumgeometrie, Ebenen, Schnittgerade, Parameter

Hallo

Ich bin wieder bei einer Aufgabe bei welcher ich mir nicht sicher bin ob mein Ansatz richtig ist.
Wie immer bin ich sehr dankbar für eure Hilfe; ich hoffe meine Notizen sind lesbar.

Frage:

Raumgeometrie, Ebenen, Schnittgerade, Parameter

Meine Lösung / Ansatz:

Raumgeometrie, Ebenen, Schnittgerade, Parameter

Mir ist es ja grundsätzlich klar wie das mit den Parameter genau aussehen sollte, sodass die Gerade nur einen Schnittpunkt bzw. in der Ebene liegt. Ist jedoch überhaupt meine berechnete Gerade g aus Teilaufgabe (a) richtig?

Bei (b) setze ich die x1 x2 und x3 werte der Geraden in die Ebene 3 ein, sodass ich eventuell auf eine Gleichung komme, welche ist umstellen könnte, sodass ich Werte für die entsprechenden Parameter eingeben könnte und dann eine Lösung finde.

Wie man aber leider sieht komme ich nicht weiter, da ich den Parameter “s” der Geraden nicht eliminieren kann und auch nicht weiss ich wie da am besten vorzugehen habe.

Auf die Gerade bin ich mit Videos von Daniel gekommen und auch der Schritt bei Teilaufgabe (b) habe ich durch seine Inputs irgendwie zusammengekriegt.

Sollte ich (b) gelöst bekommen denke ich sollte (c) nicht wirklich schwer sein.

Grüsse

Wizz

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9 Antwort(en)

Ich habe es nochmals probiert und bin diesmal auf eine andere Gerade gekommen und ich denke diese sieht besser aus:

RE: Raumgeometrie, Ebenen, Schnittgerade, Parameter

Jetzt habe ich aber bei (b) immer noch Probleme. Ich habe drei Parameter a, t und B. Damit ein Schnittpunkt vorliegt muss ich ja für t genau einen Wert finden, welchen ich zulassen kann. Wie gehe ich da weiter vor?

Zusätzlich muss ich ja noch angeben wann die Gerade in der Ebene liegt. Also hat es “unendlich Lösungen”. Natürlich habe ich auch hier keine Ahnung da ja das gleiche gefragt ist wie bei den anderen Teilaufgaben. Bei (c) müsste ich ja noch den letzten Fall zeigen, bei der die Gerade parallel zur Ebene liegt -> also keine Lösung vorliegt.

Grüsse

Wizz

Fragensteller Beantwortet am 3. Dezember 2018.
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Hallo,

bei der a) ist dir ein kleiner Fehler unterlaufen. Beim berechnen von x hast du die Gleichung mit 7 multipliziert aber vergessen auch die 1 mit 7 zu multiplizieren.

Dadurch ändert sich in deiner Gleichung nur der Ortsvektor. Der x-Wert ist

\( -\frac 4 7 \)

Zu der b)

Wir suchen Werte für \( \alpha \) und \( \beta \), sodass wir nur eine Lösung für s haben.

Ich würde deine letzte Gleichung mal nach s umstellen. Dann musst du nur gucken für welche Werte von \( \alpha \) und \( \beta \) eine Lösung existiert.

Für den Fall das die Gerade in der Ebene liegt müssen wir unendlich viele Lösungen erhalten. Wann ist das der Fall? Du hattest ein ähnliches Problem in deiner letzten Frage.

Zu c)

Es gibt nur noch eine Möglichkeit für die Gerade zu der Ebene zu stehen, wenn sie die nicht schneidet. Welche ist das?

Grüße Christian

LRM-Team Beantwortet am 3. Dezember 2018.
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Oh hatte die Frage wohl schon zu lange offen. War ich etwas zu spät. :p

Aber deine Gerade ist die selbe Gerade.

Zu b)

Stell die Gleichung mal nach t um. Du wirst einen Bruch erhalten. Dann kannst du mal versuchen dich an der Lösung zu deiner letzten Frage zu orientieren. Wenn es nicht klappt sag nochmal bescheid.

Grüße Christian

LRM-Team Beantwortet am 3. Dezember 2018.
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Hallo Christian

Erstmal danke nochmal für deine Antwort.

Also ist die Gerade jetzt falsch oder nicht? und woran siehst du genau, dass das die selbe Gerade ist? Es liegt doch bei meinem Zweiten Versuch ein anderer “Anfangspunkt” vor, also (“0”, “-1”, “-4”), statt (“1”, “5/7”, “0”).

Zu b: Ich dachte mir schon, dass es in die selbe Richtung gehen muss wie bei meiner letzten Frage 🙂 Ich werde es gleich probieren.

Danke!

Grüsse

Wizz

Fragensteller Beantwortet am 3. Dezember 2018.
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Die zweite Gerade von dir ist richtig. Die erste ist richtig wenn du den x-Wert des Ortsvektors korrigierst.

Ich meinte das deine zweite Gleichung und die korrigierte erste Gleichung die selbe Gerade beschreiben, also

\( \begin{pmatrix} -\frac 4 7 \\ \frac 5 7 \\ 0 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ -4 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ -7 \end{pmatrix} \)

Die Richtungsvektoren beider Geraden sind linear abhängig. Damit verlaufen beide schon mal in die selbe Richtung. Dann habe ich den Ortsvektor der einen mit der anderen Geraden gleichgesetzt und geprüft ob dieser auf der Geraden liegt. Da er das tut sind beide Geraden identisch.

Muss ja auch so sein, denn egal welche Variable wir frei wählen, es muss ja immer eine Lösung sein und somit auf beiden Geraden liegen.

 

 

LRM-Team Beantwortet am 3. Dezember 2018.
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Vielen Dank jetzt habe ich das mit der Geraden verstanden und auch meinen Fehler gesehen bei meinem ersten Versuch.

Jetzt aber noch zur Aufgabe 4b)

Ich habe es nochmals probiert und bin auf folgende Lösung gekommen:

RE: Raumgeometrie, Ebenen, Schnittgerade, Parameter

Nach t umzustellen war ja grundsätzlich nicht schwer, sofern mir kein Fehler unterlaufen ist. Nun bin ich mir aber trotzdem nicht sicher ob meine Lösung stimmt. Könntest du das noch überprüfen?

 

Fragensteller Beantwortet am 3. Dezember 2018.
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Sieht für mich erstmal richtig aus. Du hast dich nur am Ende beim \( \beta \) verrechnet.

Wenn \( \alpha = -2 \) muss \( \beta = -4 \) sein, damit wir die Nullzeile erzeugen.

Was mir gerade noch einfällt, das habe ich leider bei der letzten Frage nicht bedacht. Wenn du für eine Lösung  bereits festlegst, das \( \alpha \neq -2 \) , dann darf \( \beta \) natürlich den Wert \( -4 \) annehmen.

Es können ja dann keine undefinierten Ausdrücke entstehen, denn \( t \) darf ja prinzipiell auch Null werden.

Für unendlich viele und keine Lösung bleibt es aber so wie ich es gesagt hatte. Du musst dort also nur das \( \beta \) korrigieren.

LRM-Team Beantwortet am 4. Dezember 2018.
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Alles klar nochmals vielen Dank 🙂 Dann hat sich meine Frage grundsätzlich beantwortet.

 

Nur noch wegen Beta kurz:

Also dann kann ich im Falle einer Lösung Beta = R setzen, da ja alle Zahlen zugelassen sind ?

Fragensteller Beantwortet am 4. Dezember 2018.
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Ja genau. Wir haben ja nur einen undefinierten Ausdruck wenn wir durch Null teilen. Da \( \alpha \neq -2 \) kann dies aber nicht passieren.

Freut mich zu hören. 🙂

LRM-Team Beantwortet am 4. Dezember 2018.
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