Inverse einer 2×2 Matrix

Ich habe folgende Aufgabe erhalten: Zeigen Sie

Ist A = (a b

c d)

invertierbar , so gilt (A^t)^-1= ( A^-1)^t

A^t müsste ja demnach (d  c

b a) sein.

Auch der folgende Tipp hilft mir nicht:

Die Formel für die Inverse A−1 lautet dann

1: (ad-bc) (d -b
                           -c  a)

 

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13 Antwort(en)

Hallo,

\( A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}  \Rightarrow A^t = \begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix} \)

Beim transponieren wird an der Hauptdiagonalen gespiegelt.

Hattet ihr das berechnen der Inversen über ihre Adjungte? Dort könnte der Tipp hilfreich sein. Es gilt nämlich:

\( A^{-1}=\frac 1 {detA} adj \ A = \frac 1 {ad-bc} \quad adj \ A \)

Es gilt für eine Matrix und ihr Inverses \( A \cdot A^{-1} \ = E_n \) mit \( E_n \) der Einheitsmatrix.

Deine Gleichung \(( A^t)^{-1} =( A^{-1})^t \) sagt aus, dass \( (A^{-1})^t \) das Inverse zu \( A^{t}\) ist. Das kannst du einfach nachrechnen.

Grüße Christian

LRM-Team Beantwortet am 30. Oktober 2018.
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Dafür muss ich dann aber ein Beispiel verwenden oder?  So Variablen machen mich verrückt 😀

Member Beantwortet am 31. Oktober 2018.
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Ein Beispiel ist leider kein Beweis. Deshalb reicht das hier nicht. Du musst es hier also allgemein rechnen. Das geht aber noch für 2×2 Matrizen.

Wir können das hier auch mal zusammen machen. Weißt du wie man die adjungierte berechnet?

LRM-Team Beantwortet am 31. Oktober 2018.
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Das wäre auch zu schön gewesen…

oh das ist toll, danke!

Die Adjungierte von einer 2×2 Matrix ist doch

(d -b

-c a). Oder?

Member Beantwortet am 31. Oktober 2018.
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Ach ja jetzt erkenne ich erst dein zu letzt geschriebenes. Sorry

Genau für die Inverse gilt

\( \frac 1 {ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} \)

Jetzt ist aber nach \( (A^{-1})^t \) gefragt, also müssen wir diese noch transponieren.

Wie sieht diese Matrix dann aus?

 

LRM-Team Beantwortet am 31. Oktober 2018.
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Das müsste dann

( d -c

(-b a) sein oder?

Das 1

( ad-bc) bleibt?

Member Beantwortet am 31. Oktober 2018.
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Genau den Vorfaktor kannst du stehen lassen und dann wird wieder an der Hauptdiagonalen gespiegelt.

\( (A^{-1})^t = \frac 1 {ad-bc} \begin{pmatrix} d & -c \\ -b & a \end{pmatrix} \)

Jetzt gilt

\( M \cdot M^{-1} = M^{-1} \cdot M = E_n \)

\( \Rightarrow A^t \cdot (A^t)^{-1} = A^t \cdot  (A^{-1})^t  = E_n \)

\( \begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix} \cdot \frac 1 {ad-bc} \begin{pmatrix} d & -c \\ -b & a \end{pmatrix}  = \frac 1 {ad-bc} \begin{pmatrix} d & -c \\ -b & a \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \)

Das musst du jetzt noch prüfen.

LRM-Team Beantwortet am 31. Oktober 2018.
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Aber wie prüfe ich das,wenn ich keine Zahlen haben? Die Einheitsmatrix  muss doch die 2×2 sein oder?

Member Beantwortet am 31. Oktober 2018.
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Was ist den das Ergebnis von

\( \begin{pmatrix} d & -c \\ -b & a \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a &c \\ b & d \end{pmatrix} \)

Das kannst du ja ganz allgemein rechnen. Wenn du das Produkt berechnet hast wirst du sehen warum es stimmt.

LRM-Team Beantwortet am 31. Oktober 2018.
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Aber wie prüfe ich das,wenn ich keine Zahlen haben? Die Einheitsmatrix  muss doch die 2×2 sein oder?

Member Beantwortet am 31. Oktober 2018.
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