Aussagen zu Untervektoren

Beweisen oder widerlegen Sie die folgenden Aussagen:

(i) Sind u und v kein Element des Untervektors U, dann ist stets v-u auch kein Element von U

(ii) Sind u und v keine Elemente des Untervektors, dann ist v-u ein Element von U

(iii) Ist u kein Element von U, aber v ist ein Element von U, dann ist stets v-u kein Element von U

Hinweis: Prüfen Sie die Aussagen zuächst an Beispielen.

Ist eine Aussage falsch, geben Sie
zum Widerlegen einfach ein Gegenbeispiel an.

 

Welche Werte kann ich dann für u und v als Beispiel nehmen?

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16 Antwort(en)

Ich habe oben ja die UVR U und W vom Vektorraum V.

Da \( U \cup W = \emptyset \) muss  für u gelten

\( u \in W \land u \notin U \)

Für v gilt das umgekehrte.

Jetzt können wir zwei Basen nehmen. A und B. Wir haben schon gesagt A ist die Basis von U und B ist die Basis von W.

Nun kannst du u durch die Basis B und v durch die Basis A darstellen und die Differenz berechnen.

Danach musst du argumentieren warum das Ergebnis nicht wieder in U ist.

LRM-Team Beantwortet am 7. November 2018.
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Hallo,

ich würde als Vektorraum den \( \mathbb{R}^3 \) wählen und als UVR eine Fläche in diesem VR. Das kann man sich selbst auch am besten vorstellen.

Elemente die nicht im UVR liegen sind dann Punkte unter- oder oberhalb dieser Fläche.

Grüße Christian

LRM-Team Beantwortet am 6. November 2018.
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Ich sehe gerade, dass in der Teilaufgabe ein Vektorraum gegeben ist:

s x (2

-1)

da mussten wir auch in Koordinatensystem zeichnen. Habe jetzt einfach Punkte abgelesen die nicht im Vektorraum liegen

i)

u = (1        , v=(0

3)                1)

u-v ergibt dann

(-1

-2) und liegt somit nicht im Vektorraum (i gilt)

 

für die Aussage bei ii) haben wir damit direkt ein Gegenbeispiel gefunden

iii) u (siehe oben) v= Nullvektor Element des Vektorraumes

bei v-u kommt dann raus

(-1

-3) was ebenfalls kein Element von U ist.

 

ist das alles korrekt?

 

 

 

Member Beantwortet am 6. November 2018.
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Sehe ich das richtig das der Untervektorraum 1-dimensional ist, mit der Basis:

\( \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}\)

Die Beispiele sind richtig.  Damit hast du für ii) ein Gegenbeispiel.

Jetzt musst du die Aussagen i) und iii) aber noch beweisen oder?

LRM-Team Beantwortet am 6. November 2018.
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Genau 2s und -s würde ich sagen.

Also ii wäre damit erledigt.

für i und iii muss ich das dann wieder generell zeigen? Aber wie soll das gehen?

Member Beantwortet am 6. November 2018.
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Fangen wir erstmal mit der i) an.

Wir haben einen Vektorraum V mit den zwei Untervektorräumen U und W, mit der A der Basis von U und B der Basis von W.

Es soll gelten

\( W \cup U = V \) und \( W \cap U = \emptyset \)

Sei \( b_i \in B \) und u und v zwei Vektoren die nicht in U sind, also

\( u,v \in W \)

Wie kann man einen Vektor allgemein mit seinen Basisvektoren darstellen? Wenn du das weißt berechne einfach mal die Differenz.

LRM-Team Beantwortet am 6. November 2018.
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Da bin ich mir nicht sicher…

ist es

Basis B=

(1        Und (0

0).                  1)

tut mir leid, ich weis nicht wie ich die Vektoren hier ordentlich darstellen kann..

Member Beantwortet am 6. November 2018.
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Im Beweis müssen wir das ganze ja allgemein gültig beweisen. Mit der Basis die du schreibst hast du schon eine bestimmte Basis gewählt.

Stell den Vektor mal folgendermaßen dar:

\( u = \sum_{i =1}^n u_i b_i \)

Die selbe Darstellung kannst du auch für v nutzen.

\( v = \sum_{i =1}^n v_i b_i \)

Hierbei ist n übrigens die Dimension des UVR W.

Nun bestimme mal u-v und fasse das zusammen.

LRM-Team Beantwortet am 6. November 2018.
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U-v=ni=1 (u¡-v¡) 

? Tut mir leid, ich bin echt grottig  :/

Member Beantwortet am 6. November 2018.
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Genau, du musst nur die ganze Rechnung aufschreiben.

\( u-v = \sum_{i=1}^n u_i b_i – \sum_{i=1}^n v_i b_i = \sum_{i=1}^n (u_i b_i – v_i b_i) =  \sum_{i=1}^n (u_i – v_i )b_i =\sum_{i=1}^n w_i b_i  \)

Wieso gilt nun

\( w \in W \)

Lass dich nicht unterkriegen. Den meisten von uns ging es am Anfang so. Man entwickelt nur durch Übung ein Gefühl für Beweise. 🙂

LRM-Team Beantwortet am 6. November 2018.

Wo kommt denn jetzt das kleine w her? Ist w das Ergebnis von u-v?

es ist nur so frustrierend, wenn man es für später gar nicht braucht 😀

 

am 6. November 2018.

Ja genau. \(w_i= u_i-v_i \). Das w habe ich eigentlich zur Anschauung genutzt scheint aber das ich es schlimmer gemacht habe 😀

Aber warum ist die Differenz jetzt in W und nicht in U ?

Man kann es an der letzten Gleichung sehen.

Ich kann das Gefühl gut verstehen. Aber Beweise nachzuvollziehen hilft enorm beim Verständnis. Aber damit sage ich dir vermutlich das was du immer hörst und das macht es auch nicht besser :p

am 6. November 2018.

Ja hey, ich habe was richtig verstanden 😀

Hat das was mit dem b zu tun? Also weil b ein Element  von B ist?

 

am 6. November 2018.

Ja genau. Die \(b_i\) stehen für die Basiselemente. Weil die Basis das kleinste Erzeugendensystem ist, muss man alle Elemente aus dem Vektorraum durch die Basiselemente darstellen können. Und da du das kannst muss dieser Vektor in W liegen und kann somit nicht in U liegen.

Der Beweis für iii) hat ähnliche Argumente. Man muss vielleicht etwas mehr erklären. Versuch es mal 🙂

am 6. November 2018.

Ich sehe gerade, dass wir nicht u-v rechnen sollten, sondern v-u, aber ich kann das einfach umdrehen, richtig? Dann versuche ich mich mal an der iii)

 

am 7. November 2018.

Ja genau. Die Idee die wichtig ist, ist das du den Vektor über die Basisvektoren darstellst und das Ergebnis auch wieder durch diese darstellen kannst.

am 7. November 2018.
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