5er Zahlenkette mit Fibonacci Regel

ich habe folgende Aufgaben erhalten und komme nicht weiter:

Wir betrachten alle 5er-Zahlenketten, die mit 39 enden.

(i) Bestimmen Sie sämtliche Anfangszahlen a und b, so dass die zugehörige 5er-Zahlenkette mit 39 endet.

(ii) Bestimmen Sie alle natürlichen  Anfangszahlen a und b, so dass die zugehörige  5er- Zahlenkette mit 39 endet.

(iii) Bestimmen Sie alle ganzen Anfangszahlen a und b, so dass die zugehörige 5er-Zahlenkette mit 39 endet.

Mein Ansatz bisher ist folgender:

für die 5. Zahl gilt: 2a+3b = 39 also a=19,5- 3/2b und b= 13-2/3a

also a muss mindestens 0 sein und höchstens 19? und b dann mindestens 0 und höchstens 13?

ich glaube a muss auf jeden Fall durch 2 teilbar sein, richtig? Und b müsste doch ein Vielfaches von 3 sein. Ist das korrekt?

Aber wie genau ermittele ich jetzt die Werte für i) ii) und iii) ?

Für Tipps wäre ich unendlich dankbar!

Member Gefragt vor am 5. November 2018 in Sonstiges.
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13 Antwort(en)

Hallo,

dein Ansatz ist richtig.

Es gilt

\( 2a +3b = 39 \)

Dadurch bekommst du eine Einschränkung für b, nämlich

\( b = 13 – \frac 2 3 a\)

Haben wir die Einschränkung für b brauchen wir nur noch eine für a, da b in Abhängigkeit von a steht.

Nun musst du dir überlegen gibt es eine Zahl für a die du hier nicht einsetzen kannst?

Wenn du alle Zahlen für a gefunden hast, musst du für ii) überlegen welche Zahlen davon natürliche und für die iii) welche Zahlen davon ganze Zahlen sind.

Das sind dann deine Lösungen.

Grüße Christian

LRM-Team Beantwortet am 6. November 2018.
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Also a darf in dem Fall nicht größer als  19,5 sein, da 13- (2/3 x 19,5)=0 ist. Korrekt? Also 20 könnte man z.B nicht einsetzen, da b ansonsten negativ wäre?!

also gilt für  i) a für alle Zahlen, die kleiner sind als 19,5

Und für ii)?

iii) da a durch 3 teilbar sein muss bleiben die ganzen Zahlen (0,3,6,9,12,15,18) für a übrig.richtig?

 

aber dann macht i ja keinen Sinn, oder? 

 

 

 

Member Beantwortet am 6. November 2018.
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Warum sollte b nicht negativ sein dürfen?

Nehmen wir mal der Einfachheit halber \( a= 21 \).

\( b= 13- \frac 2 3 \cdot 21 = -1 \)

Dann haben wir die Folge

\( 21, -1, 20, 19, 39 \)

Damit ist die ii) doch nicht sinnlos.

Dort kommt die Überlegung der Teilbarkeit von a und b ins Spiel. Also das a durch 2 und b durch 3 teilbar sein muss.

Für die iii) sind genau das die Zahlen. Dort brauchst du dann die Einschränkung nach oben, da sonst die andere Zahl nicht mehr eine natürliche Zahl ist.

Grüße Christian

LRM-Team Beantwortet am 6. November 2018.
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Und du weißt, dass a < b sein muss. Und wenn b maximal 13 sein kann, weißt du auch, dass a maximal 12 sein kann.

a muss durch 2 teilbar sein, b durch 3.

 

Fragensteller Beantwortet am 6. November 2018.

Wieso sollte das so sein? Die Vorschrift sagt lediglich aus

\( f_n = f_{n-1} + f_{n-2} \) mit \( n > 2 \)

Selbst die Fibonacci Folge ist definiert über die Vorschrift und den Startwerten a=b=1.

am 6. November 2018.
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Du meinst 2a muss durch 2 teilbar sein, oder? Weil ich könnte für a ja 3 einsetzen und für b z.b. 11. oder?

Member Beantwortet am 6. November 2018.
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Jetzt verstehe ich gar nichts mehr….

also a darf nicht größer als 19,5 sein und b nicht größer als 13, richtig?

Aber warum muss a gerade sein, oder muss 2a gerade sein?

Member Beantwortet am 6. November 2018.
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Oh ja da habe ich was durcheinander gebracht. 2a muss durch 3 teilbar sein. Wir haben ja

\( \frac 2 3 a \)

diese Zahl muss eine ganze Zahl damit b auch eine natürliche Zahl wird.

Für b ist das etwas komplizierter. Es gilt 39-3b muss durch 2 teilbar sein. Aber wir haben für b ja schon unsere Einschränkung.

\( b = 13 – \frac 2 3 a \)

LRM-Team Beantwortet am 6. November 2018.
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Das heißt für i)

a= alle zahlen nicht größer als 19,5 und 2a muss durch 3 teilbar sein, also:

a=1 ist nicht möglich, da 2×1 nicht durch drei teilbar

a=1,5 ist möglich, da 2×1,5=3

a=2 ist nicht möglich s.o

a=2,5 nicht s.o

a=3 möglich

a=4,5 möglich

a=6 ist möglich

a=7,5 ist möglich

a=9 ist möglich

a=10,5 ist möglich

a=12

a=13,5

a=15

a=16,5

a=18

a=19,5

sind das wirklich alle möglichen Zahlen?

Member Beantwortet am 6. November 2018.
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Nein das habe ich ja nicht gesagt.

Für die i) sehe ich keine Einschränkung außer unsere Gleichung

\( b= 13 – \frac 2 3 a \)

Da du alle reellen Zahlen nutzen kannst gibt es auch keine Einschränkung. Stell dir eine Gerade vor 

\( y = -\frac 2 3 x + 13 \) 

Alle Werte auf dieser Geraden erfüllen unsere Gleichung

zu ii)

Hier hast du eine weitere Einschränkung. a und b müssen ganze Zahlen sein. Hier kommt eben die Teilbarkeit ins Spiel, da mit unserer Einschränkung für b nur ganze Zahlen herauskommen, wenn 2a durch 3 teilbar ist, weil dann gilt

\( \frac 2 3 a \in \mathbb{Z} \)

Das müssen wir haben, da die Differenz von 13 und einer anderen Zahl nur eine ganze Zahl ergibt wenn die andere Zahl auch eine ganze Zahl ist.

zu iii)

Nun haben wir nur noch die natürlichen Zahlen. Hier musst du zusätzlich eben auf die Grenzen aufpassen die du die ganze Zeit haben willst, da sonst b negativ wird und somit keine natürliche Zahl mehr ist.

LRM-Team Beantwortet am 6. November 2018.
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D.h es ist gar nicht nach konkreten Zahlen für a und b gefragt, wie ich sie z.b (falsch) aufgelistet habe, sondern ich muss lediglich diese Einschränkungen nennen?

Member Beantwortet am 6. November 2018.
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